Eine Anekdote der Mathematik

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Eine Anekdote der Mathematik
Filed under Wissenschaft, cantor, hilbert, mathematik, unendlichkeit
Creator Robert Vogt

Unendlichkeit ist nicht gleich Unendlichkeit. Das jedenfalls sagt die Mathematik. Die Mengen der natürlichen Zahlen und der reellen Zahlen haben zwar beide unendlich viele Elemente, dennoch gibt es keine bijektive Abbildung N → R.

Wie auch immer, zur Veranschaulichung von Unendlichkeiten pflegte der deutsche Mathematiker David Hilbert († 1943) folgende Geschichte zu erzählen.

Hotel «Unendlich»

In einem fernen Land gibt es ein Hotel, welches Hotel «Unendlich» genannt wird. Unsere Geschichte beginnt kurz nachdem der Nachtportier die Nachtschicht übernommen hat. Ein verspäteter Gast meldet sich am Eingang, als der Nachtportier die herumlungernden Besoffenen aus den nahe liegenden Pubs vertreibt, die auch gerade geschlossen haben. Der Gast möchte im Hotel übernachten, doch der Nachtportier zeigt sich unnachgiebig: «Du kommst hier net rein!»

Zum Glück hat der Hotelmanager den Wortwechsel mitbekommen und greift ein. Selbstverständlich haben wir noch ein Zimmer für jeden noch so späten Gast. Der Nachtportier protestiert, es seien doch alle Zimmer belegt. «Kein Problem», sagt der Manager und greift zum Mikrofon der Sprechanlage. Er bittet alle Gäste, aus ihrem aktuellen Zimmer ins nächste Zimmer umzuziehen. Dieses Ansinnen zu später Stunde verursacht zwar bei einigen Gästen etwas Unmut, aber jeder ist damit einverstanden, denn hätten sie sich selbst verspätet, wären sie ja auch auf das Entgegenkommen der anderen Gäste angewiesen. Auf diese Weise wird das Zimmer mit der Nummer 0 frei für den neu angekommenen Gast.

Kurze Zeit später kommt eine verspätete Reisegruppe aus 30 Touristen an, die ebenfalls Einlass verlangt. Der Nachtportier will nicht nochmals einen schlechten Eindruck hinterlassen und ruft den Manager. Dieser greift wieder zum Mikrofon und bittet wieder alle Gäste, diesesmal aus ihrem Zimmer mit der Nummer n ins Zimmer mit der Nummer n+30 umzuziehen. So werden die Zimmer mit den Nummern 0 bis 29 frei, Platz genug für die neu angekommene Reisegruppe.

Diese Nacht ist ziemlich viel los im Hotel «Unendlich», denn kaum sind die 30 Gäste untergebracht, fährt ein Hilbert-Bus vor. Ein Bus mit unendlich vielen Sitzplätzen, nummeriert mit natürlichen Zahlen. Der Nachtportier ist schockiert – Unendlich viele Gäste, ohne Reservation. Dass man für endlich viele Gäste immer noch Platz schaffen kann, hat er inzwischen verstanden, aber für unendlich viele Gäste sei das unmöglich, stellt er fest und will die Gesellschaft wegschicken. Doch der Hotelmanager möchte sich das Geschäft nicht entgehen lassen. Er greift erneut zum Mikrofon und bittet die Gäste, vom Zimmer n ins Zimmer 2n umzuziehen. So werden alle Zimmer mit ungeraden Nummern frei, Platz genug für alle Passagiere des Hilbert-Buses. Nur die Stimmung unter den Stammgästen hat sich deutlich verschlechtert.

Schliesslich fahren gleich 30 Hilbert-Busse vor. Ein Hilbert-Jumbo hatte sich verspätet, so, dass die Feriengäste erst sehr spät mit ihren Hilbert-Bussen vom Flughafen zum Hotel abfahren konnten. Der Nachtportier hat schon einen Verdacht, dass der Manager auch hierfür eine Lösung bereit hat. Tatsächlich: per Durchsage gibt er wieder alle ungeraden Zimmer frei. Dann bringt er die Neuankömmlinge darin unter und zwar schön nacheinander immer je einen aus jedem Bus, also in die ersten 30 freien Zimmer die jeweils ersten Gäste aus jedem Bus, dann die zweiten aus jedem Bus in die zweiten 30 freien Zimmer und so weiter.

Man ahnt es schon, in dieser Nacht finden die Gäste im Hotel «Unendlich» keine Ruhe. Denn schon trifft ein Hilbert-Konvoi vor dem Hotel ein. Also eine Folge von Hilbert-Bussen, die mit natürlichen Zahlen nummeriert sind. Der Nachtportier hat gar nicht erst gewagt, den Neuankömmlingen abschlägigen Bescheid zu geben, sondern rief gleich den Manager. Dieser muss zwar auch einen Moment nachdenken, findet dann aber eine Lösung. Zunächst wendet er nochmals den Trick an, mit dem er jetzt schon mehrmals die ungeraden Zimmer frei bekommen hat. Dabei kommt es zu wüsten Szenen unter den Gästen, die jetzt schon 4x geweckt worden sind und ihre Nachtruhe nicht von der Geldgier des Managers ruinieren lassen wollen.

Die Gäste aus dem Hilbert-Konvoi müssen sich in Einerkolonnen auf dem Vorplatz aufstellen, der Manager rief sie daraufhin in einer auf dem Bild ersichtlichen Reihenfolge ab.

Reihenfolge der Gäste

Dies trägt nicht unbedingt zur Zufriedenheit der Gäste bei, hinter vorgehaltener Hand wird über den «Kasernenton» und «Zustände wie im Konzentrationslager» geschimpft. Aber jeder kommt früher oder später dran, am Ende hat jeder Gast ein Zimmer und die Gemüter sind wieder etwas besänftigt.

Ein Ereignis steht allerdings noch bevor und hier soll sich die Geldgier des Managers rächen. Gegen morgen nämlich fährt ein voller Cantor-Bus vor. Dieses hochmoderne Verkehrsmittel hat Sitze die in reellen Zahlen angeschrieben sind. Natürlich wollen auch diese Gäste im Hotel «Unendlich» untergebracht werden. Aber so sehr sich der Manager auch anstrengt, in seinem Hotel kann er diese Gäste nicht unterbringen. Daraufhin wird er vom Verwaltungsrat entlassen, der noch weniger Mathematik versteht, was ihm allerdings dank üppiger Entlassungsentschädigung herzlich egal ist. Unbestätigten Gerüchten zufolge soll er jetzt bei der Hotelkette «Cantor Hotels» arbeiten, die mit dem Slogan «Present in uncountable locations throughout the Universe» für sich wirbt.

Lehren aus der Geschichte

Eine unendliche Menge ist offenbar so gross, dass man darin immer noch Platz genug für eine Kopie der ganzen Menge finden kann. Oder anders herum: endliche Mengen sind solche, in denen man niemals Platz finden könnte. Und; Mathematik hat nicht immer nur mit Zahlen und Operatoren zu tun!

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